Mean Field Theory Solution of the Ising Model
一、相变
- 相： 具有均匀物理性质的热力学系统。如水固相、液相、气相。
- 相变： 从一种相转变成另一种相。如冰融化成水是固-液相变，铁磁-顺磁相变，超导体-正常导体相变，几何相变（渗流），量子相变等。
- 相变产生因素？
导致相变产生的物理量有：温度T、压强P等。这些物理量本质上影响的是①物质内部粒子间的相互作用 ②粒子自身的热运动。 - 如何描述相？
- 状态转换成能量。 Hamiltonian 哈密尔顿量 \(H\) 表示某一状态 \(\Gamma\) 下系统能量。
- 能量转换成概率。即出现这一状态的概率，这就是玻尔兹曼分布。
- \(k\) 为玻尔兹曼常数。
- \(Z\) 为配分函数(partition function). 所有状态下能量和，可看做是归一化函数。 \(Z\) 为定值。
- \(p\) 与\(H\) 成反比。系统中粒子间对抗性越强，能量越高，相变概率高，该状态出现概率低。
- \(p\) 与 \(T\) 成正比。
二、 Ising model
2.1 哈密尔顿量 H
伊辛模型用于描述物质磁铁性模型。 
假设有 \(N\)个粒子，每个粒子有两个自旋方向\(s \in \{-1,+1\}\)分别表示向下和向上，系统共有 \(2^N\) 种状态。状态 \(s\) 下系统哈密尔顿量由两部分组成：
- 相邻粒子对间作用。 \(J\)是正常数，表示粒子对之间的磁铁性， \(\left \langle i,j \right \rangle\) 表示所有响铃自旋对。若 \(i, j\)同号能量小\(-s_is_j\) 为负数。若 \(i, j\)异号对抗性大，能量大 \(-s_is_j\)正数。
- 外场对粒子作用。 \(h\) 为沿 \(z\) 方向的磁场。
2.2 配分函数 Z
\[Z = \sum_{\Gamma} e^{-\beta H} \quad \quad (\beta=\frac{1}{kT})\] \[\sum_{\Gamma} = \sum_{s_1=\pm 1}\sum_{s_2=\pm 1}\dots\sum_{s_N=\pm 1} =\prod_{i=1}^N\left ( \sum_{s_i \in \{+1,-1\}} \right )\] \[\begin{split} \sum_{\Gamma} \rightarrow Tr \end{split}\]\(Tr\)表示所有可能状态之和。
\[Z = Tr(e^{-\beta H})\]配分函数\(Z\) 需要计算\(2^N\)个状态，随着 N 增加，计算量呈指数增长。而且当维度扩展到高维空间时，这种计算方式就无法求解。有没有一种方法能够在任意维度下都是通用的，且计算更简单？平均场理论。
三、Weiss Molecular Filed Theory
3.1 分解Hamiltonian
\[\begin{split} s_i=\left \langle s_i \right \rangle\:&+ \quad \delta_i\\ [mean] &\quad [fluctuation] \\ \delta_i = s_i-\: &\left \langle s_i \right \rangle \\ \left \langle s_i \right \rangle = m\quad& \end{split}\]将自旋取值用均值和波动表示，均值是整个系统粒子取值的期望，那么每个粒子不同的则是波动部分。根据上式，粒子间的作用可以转化为：
\[\begin{split} s_is_j &= (\left \langle s_i \right \rangle + \delta_i)(\left \langle s_j \right \rangle + \delta_j)\\ & \approx \left \langle s_i \right \rangle\left \langle s_j \right \rangle + \left \langle s_i \right \rangle \delta_j +\left \langle s_j \right \rangle \delta_i \quad \quad (\delta_i\delta_j很小忽略不计)\\ &=m^2 + m(s_j - m) + m(s_i-m)\\ &=m(s_i+s_j-m)\\ \end{split}\]将其代入 \(H\) 中，
\[\begin{split} H&=-J\sum_{\left \langle i,j \right \rangle}s_is_j-h\sum_{i}^{N}s_i\\ &= -J\sum_{\left \langle i,j \right \rangle}m(s_i+s_j-m)-h\sum_{i}^{N}s_i\\ &= -mJ\sum_{\left \langle i,j \right \rangle}(2s_i-m)-h\sum_{i}^{N}s_i\\ \end{split}\]其中 \(\sum_{\left \langle i,j \right \rangle}\)是对所有相邻粒子对求和，可以进一步表示为以下形式， \(neighbor(i)\)表示粒子\(i\)的邻居，所有的点都会计算两次所以系数为 \(\frac{1}{2}\) 。而求和只与\(i\) 有关，因此 \(\sum_{j\in neighor(i)}\)为邻居个数 \(q\) ,一维空间 \(q=2\) ，二维空间 \(q=4\)，三维空间 \(q=6\) .
\[\sum_{\left \langle i,j \right \rangle}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^N\sum_{j\in neighor(i)}=\frac{q}{2}\sum_{i=1}^N\]继续对 \(H\) 进行简化：
\[\begin{split} H&=-mJ\sum_{\left \langle i,j \right \rangle}(2s_i-m)-h\sum_{i}^Ns_i\\ &=-\frac{qmJ}{2}\sum_{i=1}^N(2s_i-m)-h\sum_{i}^{N}s_i\\ &=\frac{Nqm^2J}{2}-(qmJ+h)\sum_{i=1}^Ns_i\\ \end{split}\]原来的哈密尔顿量\(H\) 需要对电子对之间作用\(s_is_j\)以及外场作用 \(s_i\)分别求和。经过平均场变换过后，只需对 \(s_i\)求和，无需考虑电子对之间的相互作用。简而言之，用平均场代替所有其它粒子对该粒子的相互作用，粒子之间无需进行交互，所有粒子只与平均场交互，使得多体问题转变为单体问题。
\[H =\frac{Nqm^2J}{2}-h_{eff}\sum_{i=1}^Ns_i\quad [h_{eff}=qmJ+h]\]注：整个式子中m是未知的。
3.2 配分函数 Z
\[\begin{split} Z&=Tr(e^{-\beta H})\\ &=\prod_{i=1}^{N}\sum_{s_i \in \{-1, 1\}} e^{-\frac{\beta NqJm^2}{2}}e^{\beta h_{eff}\sum_{i=1}^{N}s_i} \quad \quad \\ &=e^{-\frac{\beta NqJm^2}{2}} \sum_{s_1\in \{-1, 1\}}\dots\sum_{s_n \in \{-1, 1\}}(e^{\beta h_{eff}s_1}e^{\beta h_{eff}s_2}\dots e^{\beta h_{eff}s_n})\\ &=e^{-\frac{\beta NqJm^2}{2}}\prod_{i=1}^{N}\sum_{s_i \in \{-1, 1\}} e^{\beta h_{eff}s_i}& \\ &=e^{-\frac{\beta NqJm^2}{2}}\prod_{i=1}^{N}( e^{\beta h_{eff}} + e^{-\beta h_{eff}}) \\ &=e^{-\frac{\beta NqJm^2}{2}}(2\cosh(\beta h_{eff}))^N\quad \quad[\cosh x=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}]\\ \end{split}\]3.3 求解平均场M
\(m\) 表示整个系统的平均值, \(\left \langle s_i \right \rangle\) 表示粒子\(i\) 的平均值，注：这里 \(\left \langle s_i \right \rangle\)不再是\(m\)而是粒子\(i\)实际计算出来的均值。
\[m=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left \langle s_i \right \rangle\]粒子 \(i\) 的平均值表示，所有状态下粒子 i 取值与其概率乘积总和。以下忽略下标 \(i\) ,粒子 \(s\)的均值：
\[\begin{split} \left \langle s \right \rangle & = \sum_{\Gamma} ps\\ &= Tr(ps)\\ &=Tr( \frac{e^{-\beta H}}{Z}s)\\ &=\frac{1}{Z}Tr(se^{-\beta H}) \\ \end{split} \\ \begin{split} m&=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N \left \langle s_i \right \rangle\\ &=\frac{1}{N}\frac{1}{Z}\sum_{i=1}^N Tr(s_ie^{-\beta H})\\ &=\frac{1}{N}\frac{1}{Z} Tr(\sum_{i=1}^Ns_ie^{-\beta H})\\ \end{split}\]到这里好像不知道怎么进行化简了。而 \(Z=Tr(e^{-\beta H})\)与[1]式有相似的形式，少了一项 \(\sum_{i=1}^N s_i\)， 可以对\(H\)求导得到\(\sum_{i=1}^N s_i = -\frac{\partial H}{\partial h_{eff}}\)
\[\begin{split} Tr(\sum_{i=1}^N(s_ie^{-\beta H}))&\rightarrow Tr(e^{-\beta H}\sum_{i=1}^Ns_i ) \quad [1]\\ &\rightarrow Tr(-e^{-\beta H} \frac{\partial H}{\partial h_{eff}} )\\ &\rightarrow Tr(\frac{1}{\beta}\frac{\partial e^{-\beta H} }{\partial h_{eff}} )\\ &\rightarrow \frac{1}{\beta}\frac{\partial Tr(e^{-\beta H} )}{ \partial h_{eff}}\\ & \rightarrow\frac{1}{\beta} \frac{\partial Z}{ \partial h_{eff}} \end{split}\]从而
\[\begin{split} m&=\frac{1}{N}\frac{1}{Z}\frac{1}{\beta} \frac{\partial Z}{ \partial h_{eff}}\\ &=\frac{1}{N}\frac{1}{\beta} \frac{\partial \ln Z}{ \partial h_{eff}}\\ \end{split}\]对 Z 的化简形式取对数求导：
\[\begin{split} Z &=e^{-\frac{\beta NqJm^2}{2}}(2\cosh(\beta h_{eff}))^N\quad \\ \ln Z &=-\frac{\beta NqJm^2}{2}+N\ln2 + N\ln \cosh(\beta h_{eff})\\ \frac{\partial \ln Z}{ \partial h_{eff}}&= N\beta \tanh (\beta h_{eff}) \end{split}\]即可得到最终的 \(m\) ，形式特别优美
\[\begin{split} m&=\tanh (\beta h_{eff})\\ m&=\tanh (\beta(qJm+h)) \quad \beta=\frac{1}{kT} \end{split}\]这个式子中右边也有 \(m\) , 很难对方程直接求解，给定参数 \(\beta, q,J,h\)可以通过画图的方式寻找两函数交点. 我们考虑 \(h=0\) 即没有外场作用的情况，这时方程求解有两种情况：
- \(\beta qJ\leq 1\:(kT\geq qT)\)：有唯一解 \(m=0\) 系统为顺磁态。
- \(\beta qJ> 1\:(kT<qT)\)：有三个解 \(m=0\) 以及\(m=\pm m_0, m_0\leq 1， m_0\) 时候系统为铁磁态。而 \(m=0\)时，系统中粒子不再与平均场交互，系统随机性很强不稳定，因此我们只考虑 \(m=\pm m_0\) 两种解。
上述我们可以看到，临界状态为 \(\beta qJ=1\),即
\[kT=qJ\]一维空间 \(q=2,kT=2J\) ；二维空间 \(kT=4J\) ；
3.4 总结
根据上面的推导过程，给定参数，从而确定平均场 \(m\) 的值，进而计算出Hamiltonian和配分函数
\[\begin{split} m&=\tanh (\beta h_{eff})\\ H &=\frac{Nqm^2J}{2}-h_{eff}\sum_{i=1}^Ns_i\\ Z&=e^{-\frac{\beta NqJm^2}{2}}(2\cosh(\beta h_{eff}))^N \\ \end{split}\]通过平均场理论， \(H\) 与 \(Z\) 的计算大大简化了，并且可以适用于高维空间2D，3D等。
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